解雇された会社の保険証を引き続き使用することは可能ですか？

原則として使用することはできません。

しかし、解雇日（離職日）から20日以内に「健康保険の任意継続」の手続を取れば、そのまま使用することができます。

あなたの解雇、実は“不当解雇”かもしれません

解雇は、労働者の方の生活に大きな影響を与えることから、法律によって厳しく制限されています。
法律上のルールに則った正当な理由もなく辞めさせられた場合、それは不当解雇です。

不当解雇の場合、会社側との交渉や、裁判所を通した手続を行うことで解雇を無効にできる可能性があります。
そして不当解雇であることが認められれば、復職ができたり、解決金などの金銭が支払われたりします。

詳しくは以下のページをご覧ください。