会社に勤務したまま未払いの残業代を請求したいのですが、問題はありますか？

残業代請求権は法律で認められた正当な権利なので、行使することに法的な問題はありませんが、会社側の対応によっては、あなたと会社との関係に影響が出る可能性もあります。

会社での勤務を継続したまま未払いの残業代を請求すると、「みんな当たり前にサービス残業をやっているのに、Aさんは残業代なんか請求して、まったくけしからんやつだ」などと不満に思う上司がいるかもしれません。
このような内部の人間関係はもちろん、たとえば「残業代を請求するのであれば残業は禁止」とされ業務に支障が出たり、残業が不要な部署へ異動させられたりするなど、会社の処遇が変わってくる可能性もあります。

しかし、「会社との関係悪化」を危惧するあまり、「残業代請求権」という正当な権利を行使する機会が奪われるのは、好ましくありません。
もっとも、在職中の残業代請求には上記のようなリスクが生じることは否定できないため、弁護士と相談しながら、できる限り会社との関係を維持し、就業状況に悪影響が生じないよう慎重に請求することをおすすめします。