タイムカードで勤務実績を管理していました。弁護士に依頼すれば、会社からそのタイムカードの開示を受けられますか？

弁護士に依頼することで、タイムカードの開示を請求することはできます。

タイムカードは、残業時間の算定に関して強力な証拠となるので、タイムカードが存在しているならぜひとも入手したいところです。未払い残業代を請求したいのに、手元にタイムカードがない場合には、使用者（会社側）に対してタイムカードの開示を請求してくことになります。

その場合、まずは弁護士から開示を請求します。この段階で使用者が応じてくれれば問題はありません。
また、弁護士からの請求に対して開示を拒んできた場合でも、さまざまな方法でタイムカードの開示をするよう働きかけることができます。

たとえば、民事訴訟などの法的手続を利用し、そのなかでタイムカードの開示を請求していく方法があります。
裁判官などがタイムカードの提出を使用者側に指示してくれれば、使用者側も従わざるを得ない場合が多いでしょう。さらに、タイムカードを提出するよう、裁判所から使用者側に正式な命令をするように請求することもできます。
また、裁判を起こす前でも、使用者側がタイムカードを改ざんしたり破棄したりするおそれがあれば、裁判所において証拠保全の手続をすることも考えられます。

未払い残業代の請求を行う場合、一般的に労働者側の証拠がそろいづらいケースが多いのですが、このように、弁護士に依頼することで、訴訟などさまざまな手続を通じて使用者側に証拠の開示を求めることが可能となります。